题目 111：四位数 abcd‾\overline{abcd}abcd 和 dbca‾\overline{dbca}dbca 的最大公约数为 636363（相同字母代表相同数字），求所有 abcd‾\overline{abcd}abcd 与 dbca‾\overline{dbca}dbca

思路

题目就给出了 222 个四位数字，我们需要将对应的数字转换为数学公式，这样我们才能进行求解。
自然我们想到了数位原理。

解

根据数位原理
abcd‾=1000∗a+100∗b+10∗c+d\overline{abcd}=1000*a+100*b+10*c+dabcd=1000∗a+100∗b+10∗c+d
dbca‾=1000∗d+100∗b+10∗c+a\overline{dbca}=1000*d+100*b+10*c+adbca=1000∗d+100∗b+10∗c+a
这样，我们得到了只有 222 个方程的 444 元 111 次方程组。
消元是很自然的选择。
(1000∗a+100∗b+10∗c+d)−(1000∗d+100∗b+10∗c+a)=1000∗a−1000∗d+d−a=1000∗(a−d)+(d−a)=999∗(a−d)(1000*a+100*b+10*c+d)-(1000*d+100*b+10*c+a)\\ =1000*a-1000*d+d-a\\ =1000*(a-d)+(d-a)\\ =999*(a-d)(1000∗a+100∗b+10∗c+d)−(1000∗d+100∗b+10∗c+a)=1000∗a−1000∗d+d−a=1000∗(a−d)+(d−a)=999∗(a−d)
这样，我们将方程花间为一个 222 元 111 次不定方程。下面我们进行分类讨论既可以。
不失通用性，我们可以假设 abcd‾>dbca‾\overline{abcd}>\overline{dbca}abcd>dbca。
根据题目条件，可得 63∣(abcd‾−dbca‾)63|(\overline{abcd}-\overline{dbca})63∣(abcd−dbca)。
所以 63∣(999∗(a−d))63|(999*(a-d))63∣(999∗(a−d))。
所以 7∣(111∗(a−d))7|(111*(a-d))7∣(111∗(a−d))。
因为 (7,111)=1(7,111)=1(7,111)=1，所以 7∣(a−d)7|(a-d)7∣(a−d)。
也就是说 (a−d)(a-d)(a−d) 是 777 的倍数。
由于 aaa 是最高位，因此 1 所以可得 a=8,d=1a=8, d=1a=8,d=1 或者 a=9,d=2a=9, d=2a=9,d=2。
下面，我们进行分类讨论即可。

1. 当 a=8,d=1a=8, d=1a=8,d=1 时。
   abcd‾=8bc1‾=8001+bc0‾\overline{abcd}=\overline{8bc1}=8001+\overline{bc0}abcd=8bc1=8001+bc0。
   因为 8001=63×1278001=63 \times 1278001=63×127，即 800180018001 是 636363 的倍数。
   所以 bc0‾\overline{bc0}bc0 也是 636363 的倍数。
   可以得出 bc0‾=000\overline{bc0}=000bc0=000 或者 bc0‾=630\overline{bc0}=630bc0=630。
   1.1 当 abcd‾=8001=63×127,dbca‾=1008=63×16\overline{abcd}=8001=63 \times 127,\ \overline{dbca}=1008=63 \times 16abcd=8001=63×127, dbca=1008=63×16，满足 (127,16)=1(127,16)=1(127,16)=1。
   即 abcd‾=8001,dbca‾=1008\overline{abcd}=8001,\ \overline{dbca}=1008abcd=8001, dbca=1008 是一组解。
   1.2 当 abcd‾=8631=63×137,dbca‾=1638=63×26\overline{abcd}=8631=63 \times 137,\ \overline{dbca}=1638=63 \times 26abcd=8631=63×137, dbca=1638=63×26，满足 (137,26)=1(137,26)=1(137,26)=1。
   即 abcd‾=8631,dbca‾=1638\overline{abcd}=8631,\ \overline{dbca}=1638abcd=8631, dbca=1638 是一组解。
2. 当 a=9,d=2a=9, d=2a=9,d=2 时。
   abcd‾=9bc2‾=9002+bc0‾\overline{abcd}=\overline{9bc2}=9002+\overline{bc0}abcd=9bc2=9002+bc0。
   因为 9002mod63=569002 \bmod 63 = 569002mod63=56。所以 bc0‾mod63=7\overline{bc0} \bmod 63 = 7bc0mod63=7。
   可以得出 bc0‾=070\overline{bc0}=070bc0=070 或者 bc0‾=700\overline{bc0}=700bc0=700。
   1.1 当 abcd‾=9072=63×144,dbca‾=2079=63×33\overline{abcd}=9072=63 \times 144,\ \overline{dbca}=2079=63 \times 33abcd=9072=63×144, dbca=2079=63×33，而 (144,33)=3(144,33)=3(144,33)=3。
   该组答案舍去。
   即 abcd‾=9072,dbca‾=2079\overline{abcd}=9072,\ \overline{dbca}=2079abcd=9072, dbca=2079 不是一组解。
   1.2 当 abcd‾=9702=63×154,dbca‾=2709=63×43\overline{abcd}=9702=63 \times 154,\ \overline{dbca}=2709=63 \times 43abcd=9702=63×154, dbca=2709=63×43，满足 (154,43)=1(154,43)=1(154,43)=1。
   即 abcd‾=9072,dbca‾=2709\overline{abcd}=9072,\ \overline{dbca}=2709abcd=9072, dbca=2709 是一组解。
   综上所述，答案有 333 组。

问题 222：若 a+b=60,(a,b)+[a,b]=84,a,b∈N+a+b=60,\ (a,b)+[a,b]=84,\ a,b \in N+a+b=60, (a,b)+[a,b]=84, a,b∈N+，求 a,ba,ba,b

思路

题目给出了 222 个方程，但是 (a,b)+[a,b]=84(a,b)+[a,b]=84(a,b)+[a,b]=84 这个方程我们无法立即求解，需要进行响应转化。
我们可以利用短除模型。即 a,ba,ba,b 的公约数为 mmm，可得 a=mA,b=mB,(A,B)=1a=mA, b=mB, (A,B)=1a=mA,b=mB,(A,B)=1。

解

不失通用性，假设 a>ba>ba>b。
利用短除模型。记 m=(a,b)m=(a,b)m=(a,b)。
(a,b)=m,[a,b]=mAB(a,b)=m,\ [a,b]=mAB(a,b)=m, [a,b]=mAB。
这样方程变为
mA+mB=60→m(A+B)=60→A+B=60mmA+mB=60 \rightarrow m(A+B)=60 \rightarrow A+B=\frac{60}{m}mA+mB=60→m(A+B)=60→A+B=m60​
m+mAB=84→m(1+AB)=84→1+AB=84mm+mAB=84 \rightarrow m(1+AB)=84 \rightarrow 1+AB=\frac{84}{m}m+mAB=84→m(1+AB)=84→1+AB=m84​
因为 A,B∈N+A,B \in N+A,B∈N+
所以 (A+B),(1+AB)∈N+(A+B),(1+AB) \in N+(A+B),(1+AB)∈N+，即 m∣60,m∣84m|60, m|84m∣60,m∣84。
60=1∗2∗2∗3∗5,84=1∗2∗2∗3∗760=1*2*2*3*5,\ 84=1*2*2*3*760=1∗2∗2∗3∗5, 84=1∗2∗2∗3∗7
因此 m=1,2,3,4,6,12m=1,2,3,4,6,12m=1,2,3,4,6,12。
经验证 m=1,2,3,4,6m=1,2,3,4,6m=1,2,3,4,6 方程无解。
当 m=12m=12m=12
A+B=5,1+AB=7A+B=5,\ 1+AB=7A+B=5, 1+AB=7，即 A=3,2,B=2,3A=3,2,\ B=2,3A=3,2, B=2,3。
即 a=36,b=24a=36,\ b=24a=36, b=24。

问题 333：若 a+b=667,[a,b](a,b)=120,a,b∈N+a+b=667,\ \frac{[a,b]}{(a,b)}=120,\ a,b \in N+a+b=667, (a,b)[a,b]​=120, a,b∈N+，求 a,ba,ba,b

思路

类似于问题 222，使用短除模型即可解决。

解

其实就是问题 222 的变化。
大家可以自己求解。

问题 444：求 a,b∈N+a,b\in N+a,b∈N+，使得 (a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab(a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab(a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab

思路

类似问题 222，使用短除模型。
由于本题将转化为一个 444 元 444 次方程，这样的方程是没有办法进行分类讨论的，工作量太大了。
所以我们需要进行缩放。

解

不失通用性，假设 a>ba>ba>b。
利用短除模型。记 m=(a,b)m=(a,b)m=(a,b)。
则 a=mA,b=mB,(A,B)=1a=mA,\ b=mB, (A,B)=1a=mA, b=mB,(A,B)=1。代回原方程。
m+9mAB+9(mA+mB)=7∗mA∗mBm+9mAB+9(mA+mB)=7*mA*mBm+9mAB+9(mA+mB)=7∗mA∗mB
1+9AB+9(A+B)=7mAB1+9AB+9(A+B)=7mAB1+9AB+9(A+B)=7mAB
1+9AB+9(A+B)AB=7m\frac{1+9AB+9(A+B)}{AB}=7mAB1+9AB+9(A+B)​=7m
1AB+9+9B+9A=7m\frac{1}{AB}+9+\frac{9}{B}+\frac{9}{A}=7mAB1​+9+B9​+A9​=7m
即 7m=9+1AB+9B+9A7m=9+\frac{1}{AB}+\frac{9}{B}+\frac{9}{A}7m=9+AB1​+B9​+A9​
这样，我们就可以对该方程进行放缩。
根据题目定义 a,b∈N+→A,B∈N+a,b\in N+ \rightarrow A,B\in N+a,b∈N+→A,B∈N+
9<7m≤9+1+9+99<7m \leq 9+1+9+99<7m≤9+1+9+9
即 9<7m≤28→97 即 m=2,3,4m=2,3,4m=2,3,4。下面我们进行分类讨论即可。

1. 当 m=2m=2m=2
   方程变为 5AB−9(A+B)−1=05AB-9(A+B)-1=05AB−9(A+B)−1=0。可以分类讨论，也可以使用因式分解。(5A−9)(5B−9)=86(5A-9)(5B-9)=86(5A−9)(5B−9)=86。
   86=1∗86=2∗4386=1*86=2*4386=1∗86=2∗43
   解得 A=19,B=2A=19, B=2A=19,B=2，即 a=mA=38,b=mB=4a=mA=38, b=mB=4a=mA=38,b=mB=4。
2. 当 m=3m=3m=3
   无解。
3. 当 m=4m=4m=4
   解得 A=1,B=1A=1,B=1A=1,B=1，即 a=mA=4,b=mB=4a=mA=4, b=mB=4a=mA=4,b=mB=4。
   综上。对应得解为 (4,4),(4,38),(38,4)(4,4),(4,38),(38,4)(4,4),(4,38),(38,4)。